Sviluppo del cono e del tronco di cono in lamiera: formula, raggi e angolo del settore, passo per passo

Il tronco di cono è la riduzione concentrica della carpenteria: il pezzo che unisce due bocche tonde di diametro diverso sullo stesso asse. Sviluppato, è un settore di corona circolare, e dopo il mantello è il pezzo più tracciato in officina. Questa guida dà la formula completa, un esempio risolto con il calcolo del cono di Planichapa e la tracciatura col compasso a verga.

Tutto si calcola sulla fibra neutra, a metà spessore della lamiera. È il dettaglio che separa un cono che chiude da uno che sormonta sulla saldatura, ed è dove la maggior parte dei manuali si ferma.

Cosa misurare

Quattro misure: il diametro maggiore D2, il diametro minore D1, l'altezza verticale h tra le due bocche e lo spessore s della lamiera. I diametri sono esterni. L'altezza è la distanza verticale sull'asse, non quella inclinata; la generatrice esce dal calcolo.

Nell'esempio di questa guida: D1 = 800 mm, D2 = 1200 mm, h = 800 mm e lamiera da 3 mm. Sono i valori con cui si apre la pagina del cono, e tutte le cifre qui sotto vengono da lì.

La formula dello sviluppo del cono

Generatrice

g = √( h² + ((D2 − D1) / 2)² ) L'ipotenusa del triangolo formato dall'altezza e dalla differenza dei raggi. Nell'esempio: g = √(800² + 200²) = 824,6 mm.

Semiapertura

tan α = (D2 − D1) / (2 × h) Nell'esempio, tan α = 200/800 e α = 14,0°. Serve per lo spessore.

Riduzione per lo spessore

δ = (s / 2) × cos α = (s / 2) × h / g La superficie media sta mezzo spessore dentro quella esterna, misurato sulla NORMALE alla lamiera. In un cono la normale è inclinata, quindi la riduzione sul raggio è minore di s/2. Nell'esempio: δ = 1,5 × 800 / 824,6 = 1,46 mm.

Raggi delle bocche sulla superficie media

r1 = D1/2 − δ ; r2 = D2/2 − δ 398,54 mm e 598,54 mm. La differenza r2 − r1 resta 200 mm: le due bocche rientrano della stessa quantità, quindi la generatrice e l'angolo non cambiano con lo spessore, solo i raggi.

Raggio interno del settore

Ri = g × r1 / (r2 − r1) La distanza dal centro del compasso alla bocca minore: 824,6 × 398,54 / 200 = 1643,2 mm.

Raggio esterno del settore

Re = Ri + g 1643,2 + 824,6 = 2467,9 mm. I due archi si tracciano dallo stesso centro.

Angolo del settore

θ = 360° × (r2 − r1) / g 360 × 200 / 824,6 = 87,3°. È uguale a 360° × r1 / Ri, la forma che danno quasi tutti i manuali.

Lunghezza degli archi, per controllo

arco minore = 2π × r1 ; arco maggiore = 2π × r2 2504,1 mm e 3760,8 mm nell'esempio. Ogni arco deve misurare la circonferenza media della sua bocca. Se no, il centro del compasso si è spostato.

Esempio risolto

La lamiera è molto più piccola dei raggi: il centro del compasso sta a 1643 mm dalla bocca minore, fuori dalla lamiera. È normale, ed è per questo che la tracciatura del cono chiede un compasso a verga e un punto fisso sul pavimento o su uno sfrido.

Tracciatura col compasso a verga

1. Calcola g, Ri, Re e θ, o copiali dalla pagina del cono. Annota anche le circonferenze medie delle due bocche, 2π × r1 e 2π × r2: sono il controllo.
2. Scegli il centro del compasso fuori dalla lamiera, su uno sfrido puntato o segnato sul pavimento, in modo che i due archi cadano sulla lamiera. Nell'esempio il centro sta a 1643 mm dal bordo della bocca minore.
3. Traccia l'arco minore con raggio Ri e quello maggiore con raggio Re, senza muovere il centro.
4. Traccia il primo lato: una retta dal centro fino oltre l'arco maggiore. È una generatrice e misura g tra gli archi.
5. Sull'arco maggiore, con un metro flessibile, segna la lunghezza 2π × r2 dal primo lato. Traccia il secondo lato dal centro a quel punto.
6. Controlla: tra i due lati, l'arco minore deve misurare 2π × r1. Se è lungo o corto, il centro si è mosso tra un arco e l'altro o il metro è scivolato.
7. Taglia lungo i due archi e i due lati. Segna generatrici intermedie se calandri a passate: un cono non esce dalla calandra in una volta.
8. Calandra col rullo superiore inclinato, o a passate incrociate, e chiudi la saldatura su una generatrice. La saldatura è dritta e lunga g.

Segnare l'angolo θ col goniometro è più difficile e meno preciso che segnare la lunghezza dell'arco col metro. L'angolo serve per il controllo; la tracciatura si fa con la lunghezza dell'arco.

Spessore e fibra neutra

La lamiera non si allunga né si accorcia sulla fibra neutra, a metà spessore. Ogni sviluppo si calcola lì. In un mantello questo dà il noto π × (D − s). In un cono la riduzione non è s/2 tolto dal raggio: è (s/2) × cos α, perché la normale alla superficie è inclinata.

La prova sta nel limite. Ad altezza zero il cono è una corona piana, e lo sviluppo di una rondella è la rondella stessa: nessuna riduzione, e cos α = 0. In un cono molto alto α tende a zero e la riduzione tende a s/2, quella del mantello. In mezzo, cos α.

In una riduzione comune di lamiera sottile la differenza è di decimi e nessuno la nota. In lamiera grossa e cono basso, un cappello cinese o una tramoggia aperta, la riduzione sbagliata toglie decine di millimetri alla circonferenza e il pezzo esce più piccolo del disegno.

Errori che non fanno chiudere la saldatura

• Usare la generatrice come altezza. Misurare il lato inclinato e inserirlo come h dà un cono più alto e chiuso: nell'esempio, 824,6 invece di 800 dà un settore di 84,8° invece di 87,3°.
• Usare π × D sull'arco. La bocca esce π × s più lunga: 9,4 mm su 1200 mm con lamiera da 3 mm, 31,4 mm con 10 mm. La saldatura sormonta.
• Muovere il centro del compasso tra un arco e l'altro. Gli archi smettono di essere concentrici e la generatrice cambia lungo il settore. Controlla con la circonferenza della bocca minore.
• Segnare l'angolo col goniometro invece dell'arco col metro. Mezzo grado d'errore su un raggio di 2468 mm sono 21 mm sull'arco maggiore.
• Dimenticare il sovrametallo di saldatura. La dima è il pezzo finito sulla fibra neutra: smusso, luce al vertice e sovrametallo vanno a parte, secondo il processo.
• Calandrare in una sola passata. Le generatrici del cono convergono: bisogna inclinare i rulli, o calandrare a passate incrociate e controllare con la dima.

Quando il cono non è concentrico

La formula del settore vale solo per il cono retto, con le due bocche sullo stesso asse. Se una bocca è spostata, il pezzo è il cono disassato o il cono obliquo, e lo sviluppo si fa per triangolazione: ogni generatrice ha la sua vera grandezza e la dima si costruisce triangolo per triangolo. Se il cono non ha la bocca minore, è il cappello cinese, e il settore diventa un settore di cerchio.

Domande frequenti

Come si calcola l'angolo del settore di un cono?

θ = 360° × (r2 − r1) / g, con r1 e r2 i raggi delle bocche sulla superficie media e g la generatrice. È uguale a 360° × r1 / Ri. Per 800/1200/800 dà 87,3°.

Perché i raggi del settore sono molto più grandi del pezzo?

Perché il settore è un pezzo del cono completo, il cui vertice sta sopra la bocca minore. La distanza dal vertice alla bocca minore è Ri = g × r1 / (r2 − r1): più piccola è la differenza dei diametri, più lontano è il vertice. Un cono quasi cilindrico ha raggi enormi, ed è per questo che il calcolo chiede D2 − D1 ≥ 1 mm.

Lo spessore della lamiera conta nel cono?

Sì, e non come nel mantello. La riduzione sul raggio è (s/2) × cos α, con α la semiapertura. Su lamiera sottile è irrilevante; su un cappello cinese basso da 20 mm sono più di 50 mm d'arco.

Si può tracciare un cono senza compasso a verga?

Sì, per punti: dividi l'angolo θ in parti uguali e segna ogni generatrice per coordinate dal centro, o usa la dima in PDF in scala 1:1 che dà il calcolo. Ma il compasso a verga resta il metodo più rapido e preciso in officina.

Quante passate in calandra chiede un cono?

Dipende dalla macchina. In una calandra col rullo superiore inclinabile un cono esce in una o due passate; in quella a rulli fissi si calandra a passate incrociate, una per generatrice segnata, e si controlla con una dima di circonferenza.